正交多項式法擬合密度函數

正交多項式法擬合密度函數

連續型隨機變量的概率密度函數可用高階矩的展開式逼近，而且展開式為正態分布乘一修正系數，所以可以展開為帶權的多項式。下面給出利用樣本的前階矩近似擬合密度函數的過程。本文取l=6，即利用失效參數樣本的前6階矩近似擬合參數的條件密度函數。

選取區間上的正交多項式

作為概率密度擬合的基函數，其中表示第k項多項式中x的m次冪項的系數，當上述正交多項式基的類型選定后，其系數即可確定。例如，本文選取埃爾米特正交多項式作為基函數來擬合條件密度函數，其前7項分別為

則=1；=0、=1；=-1、=0、=1；=0、=-3、=0、=1；由正交多項式的性質有

其中權函數的選取將根據選用的正交多項式類型的不同而不同。若選用埃爾米特正交多項式作為基函數，則權函數取為下面的形式

其中、分別為總體均值和標準差。經函數標準化之后，權函數可取為

而為確定常數，當選定正交多項式基的類型后，即可由式的積分確定。文中選定埃爾米特多項式作為基函數時，容易確定。

用帶權的正交多項式逼近失效樣本的概率密度函數函數為

上式中為待定系數，可由式確定。

其中為樣本的m階中心矩。

將擬合得到的失效參數樣本的條件密度函數(式所示)及8.1節中確定的、代入式即可求得失效概率函數。

分別按照上述的自適應核密度估計法和正交多項式法的步驟擬合得到失效概率函數后由式所示的全局靈敏度求解公式即可進行全局靈敏度的求解。